Przykładowa praca 

Wstęp       

Matematyka jest nie tylko jedną z najstarszych nauk, lecz uważana jest ponadto za ich królową . Jej początki sięgają epoki Starożytności. Wtedy to wielcy uczeni jak Pitagoras, Tales , Euklides i inni tworzyli swoje teorie. Zostały one zawarte w słynnym zbiorom dziele „Elementy”. Ponieważ nie udało im się zdefiniować pewnych pojęć, takich jak punkt, prosta czy płaszczyzna, więc zostały one przyjęte jako pojęcia niedefiniowane. Euklides ujął je jako pewniki czyli aksjomaty. Umożliwiły one dalszy rozwój geometrii zwanej Geometrią Euklidesową. Oznaczało to, iż wszystkie twierdzenia muszą wynikać z aksjomatów, czyli zdań przyjmowanych z góry, jako prawdziwe. Przyczyniły się one do odkrywania nowych twierdzeń.

We współczesnej szkole uczniowie pozyskują wiedzę, która pozwala im formułować hipotezy i uzasadniać je. Nauczyciele pokazują drogi, którymi należy pójść, by odnaleźć prawdę i ją uzasadnić.

 I o tym właśnie piszę w mojej pracy składającej się z dwóch części.

W pierwszej z nich przedstawiłam teorię na temat twierdzeń i dowodów. Zawarłam w niej wyjaśnienie pojęcia „twierdzenie” oraz „dowód twierdzenia”, przedstawiłam rodzaje twierdzeń i rodzaje dowodów matematycznych, omówiłam budowę twierdzenia i konstrukcję dowodów oraz poparłam przykładami. Podałam też   niektóre sposoby poszukiwania prawd przez uczniów , czyli odkrywania i formułowania zdań prawdziwych w matematyce. Pokazałam w jaki sposób uczniowie mogą konstruować dowody swoich hipotez. Na zakończenie niektóre informacje poparłam cytatami z literatury. Poza tym wymieniłam pojęcia jakie zastosowałam w pracy w ujęciu matematyki wyższej. Dokonałam analizy dwóch podręczników: „Matematyka z plusem” i „Matematyka z kluczem” pod kątem szukania i uzasadniania twierdzeń przez uczniów.

W drugiej części – praktycznej –przedstawiłam cel i organizację lekcji oraz zawarłam propozycję lekcji, którą przeprowadziłam w klasie 7 szkoły podstawowej. Tematem tej lekcji były „Odcinki w układzie współrzędnych”. /Odpowiednio dobrany cel lekcji oraz metody pozwoliły szukać uczniom nowych faktów i uzasadniać je poprzez rozwiązywanie zadań. Podałam też przykładowe zadania które, pozwalają budować i uzasadniać hipotezy. Na zakończenie podałam wnioski wynikające z lekcji- ,dotyczące poszukiwania i uzasadniania hipotez.

 

Moim pragnieniem jest, aby wszyscy uczniowie , po zakończeniu edukacji szkolnej, mogli powiedzieć, tak jak powiedział wybitny fizyk i matematyk noblista Max Born: „Nauczyciel zabrał mnie kiedyś w podróż do świata matematyki”.

1.1.   O odkrywaniu i dowodzeniu twierdzeń

 

Jeśli chcemy mówić o odkrywaniu i dowodzeniu twierdzeń musimy wiedzieć:

1.     Co to jest twierdzenie? I jaka jest jego budowa?

2.     Co to jest dowód twierdzenia? I jakie są rodzaje dowodów?

Wyrażając swoje myśli ustnie bądź pisemnie budujemy zdania proste, które za pomocą spójników możemy łączyć w zdania złożone.

Gdy połączymy dwa zdania proste p i q spójnikiem „jeśli …, to … .” otrzymamy twierdzenie. Do zapisu tego twierdzenia używamy symbolu implikacji. Ma ono postać p=>q. Nazywamy go twierdzeniem w postaci implikacji. Przyjmujemy wtedy, że zdanie p, to założenie, a q to teza. Na przykład twierdzenie Pitagorasa.

Przyjmując, że zdanie p- trójkąt jest prostokątny, a zdanie q –suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Zapisujemy wtedy jeśli p=>q. czyli jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Przyjmujemy, że p jest warunkiem wystarczającym dla q, a q jest warunkiem koniecznym dla p.

Możemy też zbudować twierdzenie odwrotne do danego czyli przyjmując tym razem, że  

zdanie q- założenie, a zdanie p- teza,

Co zapisujemy: q=>p, czyli jeśli suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, to trójkąt jest prostokątny.

Zatem zdanie q jest warunkiem wystarczającym dla p, a p jest warunkiem koniecznym dla q.

Możemy rozważać także zaprzeczenia zdań p i q, co zapisujemy ~p i ~q. Budujemy wtedy twierdzenie w postaci implikacji przeciwnej: ~p => ~q, lub w postaci implikacji przeciwstawnej: ~q => ~p.

Zdania proste p i q możemy połączyć spójnikiem:

 „……, wtedy i tylko wtedy, gdy …..”, także otrzymujemy twierdzenie. Do zapisu tego twierdzenia używamy symbolu równoważności: ma ono postać póq. Nazywamy go twierdzeniem w postaci równoważności, gdzie przyjmujemy, że:

            zdanie p- założenie, a zdanie q- teza.

 Zatem powiemy, że: Trójkąt jest prostokątny, wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Zauważamy także, że twierdzenie w postaci implikacji prostej jest równoważne twierdzeniu w postaci implikacji przeciwstawnej, co zapisujemy: {p=>q}ó{~q => ~p}.

Na podstawie prawa transpozycji możemy wnioskować, które twierdzenia zapisane w postaci implikacji są sobie równoważne. ( J. Stańdo, Zeszyt 3: Jak rozwijać myślenie logiczne w edukacji matematycznej? Ośrodek Rozwoju Edukacji, Warszawa 2017, s.6.). Przedstawia to poniższy rysunek 1.1.:

Rysunek 1.1. Prawo transpozycji

Źródło: J. Stańdo, Zeszyt 3: Jak rozwijać myślenie logiczne w edukacji matematycznej? Ośrodek Rozwoju Edukacji, Warszawa 2017, s.7.

 

Każde twierdzenie należy udowodnić, by pokazać, że jest prawdziwe.

Co to jest dowód?

„Dowód to ścisłe, przebiegające zgodnie z ustalonymi regułami uzasadnienie danego twierdzenia „Dopiero po przedstawieniu poprawnego dowodu matematycy nazywają zdania opisujące pewne własności obiektów twierdzeniami. Zatem twierdzenie to takie zdanie danej teorii matematycznej, które posiada dowód. (O dowodzeniu twierdzeń, https://matematyka.poznan.pl/artykul/o-dowodzeniu-twierdzen/ (data odczytu: 4.05.2019).

Wyróżniamy kilka sposobów dowodzenia twierdzeń:

 „Dowód dedukcyjny

Jest to dojście do określonego wniosku na podstawie wcześniejszych danych. Wychodzimy od założenia twierdzenia, zakładamy aksjomaty oraz wcześniej udowodnione twierdzenia. Metodę dedukcyjną opracował Arystoteles. Na przykład: udowodnij, że ”jeśli a=b, to a³=b³”

Zatem: a=b =>a-b=0=>(a-b)(a²+ab+b²)=0=>a³-b³=0=>a³=b³ c.k.d.

Dowód redukcyjny

Rozumowanie to polega na wychodzeniu od tego, co chcemy udowodnić, do tego, co jest dane. Na przykład: ”jeśli a=b, to a³=b³”.

Zatem: a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)=0∙(a²+ab+b²)=0 c.k.d.

Dowód nie wprost

Dowód ten opiera się na założeniu o nieprawdziwości tezy, z którego wyprowadza się sprzeczność zdania prawdziwego. Na przykład: udowodnij, że  jest liczbą niewymierną.

Zakładamy tu, że teza jest nieprawdziwa, co pozwoli pokazać sprzeczność zdania prawdziwego. Przyjmijmy, że  jest liczbą wymierną, czyli da się przedstawić, jako ułamek zwykły = , gdzie p i q są liczbami naturalnymi. Gdy obie strony równania =  podniesiemy do kwadratu, to otrzymamy p∙p=3∙q∙q. Rozkładając liczbę p i q na czynniki pierwsze zauważymy, że po jednej stronie zawsze będziemy mieli parzystą liczbę trójek, a po drugiej zawsze nieparzystą liczbę trójek. To jest sprzeczne z założeniem c. k d.( J. Stańdo, Zeszyt 3…,2017, s.11).

Dowód indukcyjny

Bazuje na zasadzie indukcji matematycznej: Istnieje taka liczba n₀, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby n₀. Dla każdej liczby naturalnej n ≥ n₀ prawdziwa jest implikacja: jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla liczby naturalnej n, to twierdzenie jest prawdziwe dla kolejnej liczby naturalnej. Wtedy twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n ≥ n₀”.( J. Stańdo, Zeszyt 3…, 2017, s.8).

Twierdzenie w postaci implikacji udowadniamy pokazując, że implikacja p=> q jest prawdziwa.

Twierdzenie w postaci równoważności udowadniamy pokazując, że implikacje: p=>q i q=>p są prawdziwe. Albo można wyjść z założenia zawartego w zdaniu p i wykonując przekształcenia równoważne dojść do tezy zawartej w zdaniu q.

Gdy uczeń chce sprawdzić słuszność twierdzenia musi znać jego budowę, czyli wiedzieć co jest założeniem, a co tezą. Założenie to warunek wystarczający dla tezy, a teza jest warunkiem koniecznym dla założenia. Na przykład:

Jeśli liczba dzieli się przez 35, to dzieli się przez 5 i 7.

Warunkiem koniecznym podzielności liczb przez 35, jest podzielność tej liczby przez 5 i 7, a warunkiem wystarczającym dla podzielności przez 5 i 7 jest podzielność tej liczby przez 35.

Zatem uczeń może sformułować tę hipotezę jako:

Liczba dzieli się przez 35 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez 5 i 7.

Wtedy warunek konieczny i wystarczający dla podzielności liczby przez 35, to podzielność tej liczby przez 5 i 7.

Rozwiązując różne zadania, bądź odpowiadając na różne pytania w matematyce odkrywamy często nowe twierdzenia, formułujemy hipotezy, które potem staramy się udowodnić. Jeśli uda się znaleźć choć jeden przykład, który nie spełnia hipotezy, to znaczy że jest ona fałszywa. Każda udowodniona hipoteza staje się twierdzeniem prawdziwym. Dla przykładu: rozwiązując zadanie:

Oblicz długość przeciwprostokątnej, jeśli przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości a i b. można odkryć twierdzenie Pitagorasa. Rozwiązanie tego zadania jest jednocześnie dowodem odkrytego twierdzenia. To samo twierdzenie można uzyskać, szukając odpowiedzi na pytanie: Jaki jest związek między długościami boków w trójkącie prostokątnym?

Innym przykładem jest cecha podzielności liczb przez 3 i przez 9. Rozwiązując zadanie: Wypisz wielokrotności liczby 3, a potem liczby 9, ustal, które liczby dzielą się przez 3, a które przez 9. (S. Turnau, Wykłady o nauczaniu matematyki, Wydawnictwo PWN, 1990, s. 48).

Jak pisze S. Turnau „Dowód twierdzenia odpowiada na pytanie: dlaczego? lub skąd wiadomo, że tak jest? Lub jeszcze: jak można to wyprowadzić korzystając z dotychczasowych wiadomości?”. (Turnau, Wykłady …op.cit, s. 49.)

Bywają też takie sytuacje, gdzie szukając odpowiedzi na pytanie: na przykład

Czy jednokładność jest izometrią? wykonujemy różne rysunki pomocnicze, analizujemy różne sytuacje, ale musimy jednak wiedzieć co to jest jednokładność? I co to izometria? choć na początku wydawało nam się, że definicje nie będą potrzebne. (Turnau, Wykłady …op.cit, s. 49.).

Nasuwa się więc wniosek, jaki podaje Prof. Turnau: „Konieczność definiowania pojęć matematycznych jest konsekwencją uznania dedukcji za jedyny rodzaj ogólnej argumentacji, i na odwrót - konieczność dedukcyjnego dowodzenia własności pojęć matematycznych jest wynikiem uznania definicji za jedyne pierwotne źródło informacji o treści tych pojęć”.( S. Turnau, Wykłady …op.cit, s. 50.).

Musimy zatem u uczniów systematycznie kształtować świadomość tego związku.

Udowadniając hipotezę można dowód zapisywać w formie grafu-drzewka. Bo dowód wtedy jest bardziej przejrzysty i wiadomo co jest założeniem, niczego nie można pominąć. Łatwiej jest kontrolować treść dowodu i uniknąć różnego typu błędów. Taki schemat dowodu jest dla ucznia łatwiejszy i bardziej zrozumiały. Tego typu grafy-drzewka, jako sposoby zapisywania dowodów, zostały zastosowane po raz pierwszy w geometrii przez Prof. Z. Krygowską. Są one teraz dość często stosowane. Chodzi o to, by matematyka stała się łatwiejsza i bardziej zrozumiała dla ucznia. (S. Turnau, Problem dowodzenia w nowoczesnym nauczaniu matematyki, Kraków 1972, s. 94.).

 „Wprowadzanie w nauczaniu nowych wiadomości, a więc twierdzeń, dowodów, definicji, jako rozwiązań pewnych zadań lub odpowiedzi na pewne pytania nazywa się problemowym wprowadzeniem, nauczanie zaś, w którym wszelkie wiadomości wprowadzone są problemowo – nauczaniem problemowym”. (S. Turnau, Wykłady …, op.cit, s. 51.)

Wykorzystując dotychczasową wiedzę -poznane definicje, twierdzenia -możemy formułować kolejne hipotezy poszerzając dotychczasowe założenia twierdzeń, czyli   uogólniać twierdzenia. Potem szukać sposobów jak je uzasadnić. W tym celu możemy zastosować dotychczasowe modele dowodów, jeśli takie zostały wypracowane lub budować nowe, które pozwolą uzasadnić odkrywane twierdzenie. Jeśli już uda nam się skonstruować nowy model, to podejmujemy różne czynności mające na celu udoskonalenie tego modelu, skracamy go, ograniczając do, najistotniejszych (naszym zdaniem) elementów, albo zamieniamy na inny, przydatniejszy- według nas- w danej sytuacji Czynimy to, po to, by na tak wypracowanym modelu badać i obserwować przypadki szczególnie pod kątem wiążących je regularności.( L. Zaręba)  Budowanie nowych modeli jest o wiele trudniejsze niż korzystanie z dotychczasowych, bo trzeba wtedy sformułować hipotezę, potem znaleźć algorytm uzasadnienia i wreszcie zapisać dowód. Dlatego w szkole na lekcji trzeba często ucznia naprowadzić, by mógł znaleźć właściwy sposób uzasadnienia swojej hipotezy. Trzeba też obserwować czy uczeń właściwie interpretuje pojęcia , jakie stosuje w tymże uzasadnieniu. Na przykład:

 jeśli uczeń wie, że prawdziwa jest równość n2 –n= n( n- 1), to jest w stanie wykazać, że 2/ n2-n.

Rozważając sposób zapisu tej równości, zapewne zauważy, że:

·         po prawej stronie ma postać iloczynową dwóch kolejnych liczb całkowitych.

·         Jedna z tych liczb jest zawsze podzielna przez 2,

·         Liczba 2 dzieli iloczyn n( n – 1), czyli 2/ n2 – n. c,k.d.

W ten sposób została wykazana prawdziwość, że 2 jest dzielnikiem liczby n2 –n

Uczeń został odpowiednio naprowadzony i dzięki rozumowaniu dedukcyjnemu wykazał, czyli uzasadnił nowe twierdzenie. Analogicznie może udowadniać inne twierdzenia, takie jak:

2/( n2 + n), 2/ (n3 - n) czy 2/( n3 + n).              

Zatem uczeń potrzebuje wsparcia nauczyciela. Z kolei nauczyciel organizując zespół konkretnych czynności prowadzących  ucznia do wykrycia twierdzenia winien wziąć pod uwagę postulaty wynikające z zasad nauczania czynnościowego matematyki. Jak pisze J. Konior:

„Zespół konkretnych działań w toku wykrywania twierdzeń powinien być – o ile to możliwe- tak organizowany, aby miał swój odpowiednik w poprawnym dowodzie matematycznym wykrywanego twierdzenia lub by przynajmniej sugerował idee abstrakcyjnego dowodu. Z drugiej strony dowód, którego geneza tkwi w fazie odkrywania twierdzenia, powinien czynić to twierdzenie oczywistym, a w każdym razie wnosić do rozumienia samego dowodzonego faktu coś więcej niż jego formalne (w sensie szkolnym) wyprowadzenie.” (Konior, Z zagadnień dowodzenia twierdzeń w nauczaniu szkolnym matematyki, 1989, s. 12-13).

  „Do najważniejszych zabiegów jakie nauczyciel powinien w tym celu stosować, zaliczamy częste stawiani pytań „dlaczego ?” Zadanie, odpowiedź, rozwiązanie problemu muszą być ,przy tym sformułowane odpowiednim językiem i przy użyciu środków dostępnych uczniowi. Jeśli problem będzie zbyt trudny, wywoła zniechęcenie i blokadę, jeśli za łatwy, nie mobilizuje do działania. Zdaniem psychologów problemy, stawiane uczniom do rozwiązania, powinny być z obszaru trochę wyższego, niż poziom myślenia dziecka, z tzw. strefy najbliższych  możliwości. Wówczas stwarzają okazję do rozwoju i są przydatne w procesie edukacyjnym.” ( H. Siwek str 180, Dydaktyka Matematyki Teoria i zastosowania w matematyce szkolnej WSiP )

Uzasadnienie faktu, że  współrzędne środka  odcinka to średnia arytmetyczna współrzędnych jego końców.

Teza: Współrzędne : środka odcinka są średnią arytmetyczną współrzędnych końców odcinka.

Dowód

Na osi x zaznaczmy dwa punkty a i b, .

W ten sposób otrzymujemy odcinek o końcach a i b. Następnie zaznaczamy środek powstałego odcinka o współrzędnej x. (Patrz Rys. )


(...)

Uczniowie ustalili długość odcinka AB licząc kratki na wykresie, a potem wykonali działania na liczbach, obliczając różnicę odpowiednich współrzędnych. Wystąpiło tu rozumowanie formalne,  bo był to konkretny przypadek.

Zad B Uczniowie w analogiczny sposób obliczają długość odcinka CD. Występuje tu rozumowanie formalne.

Zad 3 Na polecenie nauczyciela uczniowie konstruują dwa odcinki AC i BC tak, aby z podanym odcinkiem AB tworzyły trójkąt prostokątny. Zauważają wtedy, że długość odcinka AB można policzyć z twierdzenia Pitagorasa. Wystąpiło tu rozumowanie intuicyjne i formalne.

Zad 4

Uczniowie obliczają odległość wybranego punktu od początku układu współrzędnych konstruując trójkąt prostokątny i stosując tw. Pitagorasa. Wystąpiło tu rozumowanie formalne.

Zad 1 podręcznik

Uczniowie poprzez analogię do zadania poprzedniego obliczają długości odcinków mając współrzędne ich końców. Za każdym razem odkrywają trójkąty prostokątne i stosują tw. Pitagorasa. Wystąpiło tu rozumowanie formalne.

Ćw. C                                                

 Potem obliczają średnią arytmetyczną tych liczb według podanego wzoru i zaznaczają ją na osi. Następnie porównują odległości od pierwszej liczby do średniej arytmetycznej i od średniej arytmetycznej do drugiej liczby. Dzięki rozumowaniu formalnemu zauważyli, że te odległości są równe, czyli takie same. W ten sposób odkryli, że średnia arytmetyczna jest współrzędną środka odcinka.

Ćw. D

Stosując algorytm o średniej arytmetycznej uczniowie obliczają współrzędne środka odcinka mając współrzędne jego końców. Potem zaznaczają go na wykresie i sprawdzają czy punkt o takich współrzędnych jest środkiem podanego odcinka. Wystąpiło tu rozumowanie intuicyjne.

Zad C

Stosując wzór na obliczanie średniej wyznaczają  współrzędne środka danego odcinka mając współrzędne jego końców. Potem zaznaczają go na wykresie w układzie współrzędnych  i sprawdzają, czy punkt o takich współrzędnych jest środkiem danego odcinka.

Na podstawie obliczeń i konstrukcji zapisują wzór pozwalający obliczyć współrzędne środka dowolnego odcinka umieszczonego w układzie współrzędnych. Wystąpiło tu rozumowanie intuicyjne.

Zad 8 str. 105

Uczniowie obliczają współrzędne środka podanych odcinków stosując poznany algorytm.

Pojawiło się tutaj rozumowanie formalne.

Zad. 9

Uczniowie rozwiązują zadania przekształcając wzór na obliczanie średniej arytmetycznej. Wystąpiło tu rozumowanie formalne.

Zad. 2 str. 104

Uczniowie  obliczają odległości między danymi punktami,  a potem porównują te odległości poprzez porównywanie liczb. Wystąpiło tu rozumowanie formalne.

.

Propozycja zbioru zadań

 

W poniższym podrozdziale przedstawiam propozycję zbioru zadań dotyczącą tematu „ Odcinki w układzie współrzędnych” z zakresu długości odcinka oraz środka odcinka. Składa się on między innymi z zadań typu: „Udowodnij, że…” „Uzasadnij, że…”. Zadania z poniższego zbioru są mojego autorstwa, które sama wymyśliłam. Propozycja zadań może stać się materiałem pomocnym przy realizacji lekcji dla nauczycieli, którzy przygotowują się do realizacji tematu dotyczącego dowodzenia i odkrywania w zakresie długości i środka odcinka.

(...)


Długość odcinka o końcach a i x można wyrazić jako wartość bezwzględną , zaś długość odcinka o końcach x i b jako .

Ponieważ x jest środkiem zaznaczonego odcinka, to długości rozpatrywanych odcinków są równe, stąd

Ponieważ między współrzędnymi zachodzi warunek , to opuszczając wartości bezwzględne otrzymujemy

                                                             

Stąd                                                     ,

Czyli                                                     .

Środek odcinka w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie.


Dowód

1.1.   Analiza podręczników

W poniższym paragrafie przedstawiam krótkie omówienie tego w jaki sposób w wybranych podręcznikach do szkoły podstawowej wprowadzono pojęcia „ długość odcinka” i „ środek odcinka”. Analizie poddałam dwie serie podręczników: ”Matematyka z kluczem 7” (Braun i in., 2017) i ”Matematyka z plusem 8” (Dobrowolska i in., 2018).

Długość odcinka w układzie współrzędnych

W podręczniku ”Matematyka z plusem 8” długość odcinka jest wprowadzana
w ramach tematu ”Odcinki w układzie współrzędnych” na s. 102, zaś w ”Matematyce z kluczem 7” w temacie ”Odcinki i pola w układzie współrzędnych” na s. 315-316.

W obu wymienionych podręcznikach w podobny sposób wprowadzane są pojęcia „długość odcinka „ w  układzie współrzędnych.

Bardziej szczegółowo problem ten przedstawiony  jest w podręczniku ”Matematyka
z kluczem 7 czy 8???”, bo omawiając to  pojęcie zwraca się też uwagę na jednostkę, w jakiej można określać długość odcinka w układzie współrzędnych. "Długość odcinka narysowanego w układzie współrzędnych określamy w jednostce wyznaczonej na osiach tego układu” (Braun i in., 2017, s. 315). Zilustrowano to na przykładzie dwóch układów współrzędnych z różnymi jednostkami (patrz: Rys. 1).
 
                                                    Rys. 1. (Braun i in., 2017, s. 315)

Przy zapisywaniu długości odcinka nie jest stosowany   symbol wartości bezwzględnej. Zamiast    jest AB.

            Następnie na podstawie rysunku (patrz: Rys. 2),  pokazane zostało, jak obliczyć długość odcinka równoległego do osi OX . A można to zrobić na dwa sposoby:

·         przeliczając jednostki (kratki) między końcami,

·          obliczając różnicę odpowiednich współrzędnych-odciętych- końców odcinka.

(w przykładzie z rysunku obliczenie ).

Rys. 2. (Braun i in., 2017, s. 315)

            Algorytm obliczania  długości odcinka równoległego do osi OX  wykorzystywany jest do obliczenia długości odcinków równoległych do osi OY. Dla utrwalenia tego algorytmu proponowane jest do rozwiązania ćw. 1 na s. 315    

Zaś w serii podręczników ”Matematyka z plusem” pojęcie to zostało, omówione wcześniej, bo w klasie 6., a w klasie 8 rozważa się różne przypadki położenia odcinków w układzie współrzędnych i oblicza ich długości.

 Podobne ćwiczenie dotyczące obliczania długości odcinka znajdziemy w ”Matematyka z  plusem 8”. Jest to ćwiczenie A na s. 102.

W dalszej części tematu przedstawiony jest sposób  obliczania  długości odcinków nierównoległych do żadnej z osi układu. Do takiego odcinka należy skonstruować dwa odcinki:  równoległy do osi OX oraz równoległy do osi OY, w taki sposób, aby otrzymać trójkąt prostokątny (Patrz Rys. 3). Długość odcinka ukośnego oblicza się wykorzystując twierdzenie Pitagorasa.

Rys. 3. (Dobrowolska i in., 2018, s. 102).

W podręczniku Nowej Ery został umieszczony analogiczny przykład (Przykład 2, s. 316)

          W  przykładzie  3 tego podręcznika, obliczana jest długość odcinka umieszczonego w układzie współrzędnych, gdzie przyjęta została inna jednostka  (Rys. 4).  W ten sposób autorzy prowokują uczniów do określenia długości odcinków równoległych do osi poprzez wykonanie stosownych obliczeń, w szczególności podkreślają, by zawsze odejmować od większej współrzędnej mniejszą. Uczeń nie może określić długości tych odcinków poprzez przeliczanie jednostek długości między odpowiednimi punktami, jak mógł postąpić w przykładzie zamieszczonym na Rys. 3.

Rys. 4. (Braun i in., 2017, s. 316)

 

Podsumowując:  w żadnym z tych  dwóch  podręczników nie podano wzorów na obliczanie długości odcinków w układzie współrzędnych zarówno równoległych do osi OX czy OY jak też nierównoległych do osi ( jest to zgodne z podstawą programową szkoły podstawowej). Prowadzono obliczenia z wykorzystaniem liczb całkowitych
 Przedstawione algorytmy  uczeń   powinien wykorzystywać do rozwiązywania innych ćwiczeń bądż zadań.. Ważne jest, aby na tym etapie edukacji uczeń odnajdywał trójkąty prostokątne i stosował twierdzenie Pitagorasa w celu obliczenia długości odcinków ukośnych.

 

 

 

Środek odcinka w układzie współrzędnych

Pojęcie środka odcinka wprowadzono w rozdziale pt. ”Odcinki w układzie współrzędnych” w podręczniku ”Matematyka z plusem 8” na str. 102 i 103, zaś w ”Matematyce z kluczem 7” na stronie 324.

W podręczniku „Matematyka z plusem” na str. 102 przedstawione jest do rozwiązania ćwiczenie C,, w którym uczniowie mają zaznaczyć na osi liczbowej podane liczby i ich średnią arytmetyczną (patrz: Rys. 5). W ten sposób są oni prowokowani  do odkrycia wniosku, jak znaleźć współrzędną środka dowolnego odcinka ?.   Treść tego wniosku podana została bezpośrednio pod ćwiczeniem C: ”Na osi liczbowej środek odcinka wyznaczonego przez dwie liczby ma współrzędne równe ich średniej arytmetycznej”

Rys.5. (Dobrowolska i in., 2018, s. 102). 

 

 

 Kolejne ćwiczenie, to ćw. D (patrz: Rys. 6) dotyczące odcinków równoległych do osi OX i OY, w którym uczeń ma odczytać współrzędne końców odcinka i ustalić współrzędne środka, analogicznie jak w zadaniu poprzednim.

Rys.6. (Dobrowolska i in., 2018, s. 103).

 

Zarówno ćwiczenie C jak i D nie zawierają rozwiązań. Samodzielne rozwiązanie tych ćwiczeń przez ucznia ma na celu doprowadzenie go do sformułowania wzoru na środek odcinka.

Następnie   rozważany jest kolejny przypadek położenia odcinka w układzie współrzędnych. Nie jest on równoległy do żadnej z osi. Patrz rys. 6. Omówiony jest tu sposób wyznaczania środka  odcinka AB oraz podany wniosek i wzory  na współrzędne środka odcinka.

Rys.6. (Dobrowolska i in., 2018, s. 103).

 

 

 

W ”Matematyce z kluczem 7” zagadnienie wyznaczania środka odcinka i szukania jego współrzędnych omówione zostało inaczej. Przedstawia to   przykład 4 na stronie 324, który ma naprowadzić ucznia, w jaki sposób znaleźć środek dowolnego  odcinka i obliczyć jego współrzędne .

Rys. 7. (Braun i in., 2017, s. 324).

 

Z przedstawionego przykładu wynika, że ”współrzędne środków odcinka, to średnie arytmetyczne odpowiednich współrzędnych jego końców”. W przeciwieństwie do „Matematyki z plusem, ”Matematyka z kluczem” nie podaje  wzoru na środek odcinka, Wynika z tego, że  uczeń  sam musi dostrzec , że pierwsza współrzędna środka odcinka jest średnią arytmetyczną pierwszych współrzędnych końców odcinka, a druga, współrzędna środka odcinka jest średnią arytmetyczną drugich współrzędnych końców odcinka.

               

2.     Rozdział 2

 

2.1.   Cel i organizacja lekcji w klasie ósmej

 

Przeprowadzona przeze mnie analiza podręczników wskazuje na to, że wprowadzanie uczniów w temat „Odcinki w układzie współrzędnych” sprowadza się do odkrywania przez ucznia wzorów: pozwalających obliczyć długość odcinka oraz ustalić współrzędne jego środka, jak było to pokazane w podręczniku „ Matematyka z plusem 8” wydawnictwo GWO lub, ,
     działania na konkretnych liczbach i pokazanie uczniowi, że tak jest, jak było to ukazane w podręczniku „Matematyka z kluczem 7 ” wydawnictwa Nowej Ery.

 Szukając przyczyn wyboru takiego podającego podejścia, postanowiłam sprawdzić, czy przeciętni uczniowie klasy 8 są w stanie samodzielnie odkryć i zrozumieć, wzór pozwalający obliczyć długość odcinka, oraz wzór dzięki, któremu można obliczyć współrzędne jego środka. W tym celu przygotowałam i przeprowadziłam lekcję według scenariusza (patrz: ??/?/   ). W trakcie tej lekcji prowokowałam uczniów do tego, by sami (z moją niewielką pomocą) odkryli wspomniane wzory. . W moim zamierzeniu odkrycie wzorów miało się odbyć w wyniku uogólniania konkretnych algorytmów wykorzystywanych w rozwiązywanych zadaniach.

          Lekcja odbyła się 27.11.2018 r. w klasie 8 w jednej z krakowskich szkół podstawowych. Uczniowie tej klasy nie mieli do momentu badania zrealizowanego tematu „Odcinki w układzie współrzędnych”. W poprzednich klasach mieli zaznaczanie punktów w układzie współrzędnych. Temat był więc dla uczniów nowy. Tworząc scenariusz korzystałam z zadań zawartych w podręczniku dla klasy 8: „Matematyka z plusem 8” wydawnictwa GWO. W części pierwszej powitałam uczniów i podałam temat lekcji. W części drugiej odświeżyłam wiedzę uczniów na temat zaznaczania punktów w układzie współrzędnych.. Najważniejszy dla mnie fragment lekcji to część główna, w której uczniowie z moją niewielką pomocą odkrywają jak obliczać długość odcinka, a potem współrzędne jego środka.

(...)

 Wnioski

 

  1. Dzieci rozpoczynając edukację w szkole powinny uczyć się podstaw logiki, czyli odkrywać i budować zdania prawdziwe oraz  uzasadniać je,   Powinien być to proces wieloletni.
  2. Rozwiązując zadania i odpowiadając na postawione w nich pytania dzieci uczą się formułowania hipotez i uzasadniania ich.
  3. Wykazując słuszność swojej hipotezy uczą się spostrzegawczości oraz budowania modeli dowodów matematycznych, a także prawidłowego zapisu takiego dowodu przy użyciu odpowiednich symboli matematycznych.
  4. Rozwiązywanie zadań przyczynia się do rozwoju logicznego myślenia i różnych form rozumowań występujących w matematyce.
  5. Formułowanie i uzasadnianie hipotez pozwala odkrywać nowe twierdzenia.
  6. Poszerzanie założeń dotychczasowych, udowodnionych już twierdzeń / uogólnianie/ jest drogą do odkrywania nowych twierdzeń.
  7. Dostrzeganie nowych problemów i szukanie nowych zależności czy związków                             pozwalają także odkrywać nowe twierdzenia.
  8. Odpowiedni dobór podręczników, w których to tematy będą opracowane w sposób prosty i zrozumiały dla ucznia.
  9. Właściwa praca na lekcji z uczniem : odpowiednio dobrane metody pracy oraz język, a także symbole matematyczne.
  10.  Przygotowywanie kart pracy, dla utrwalenia wiedzy i szukania nowych faktów.

 

2.4   Zakończenie

        Tematem tej pracy jest odkrywanie i uzasadnianie oraz dowodzenie matematycznych faktów w szkole podstawowej na przykładzie zagadnienia „ odcinki w układzie współrzędnych”. Tu można wiele pisać o odkrywani j uzasadnianiu matematycznych faktów, ale temat ten i tak nie zostałby wyczerpany. Dlatego sprowadza się go  do omówienia różnych przykładów, gdzie odkrywana i formułowana jest hipoteza, a potem uzasadniana i dowodzona. Staje się ona twierdzeniem. W szkole podstawowej nie pojawia się jednak pojęcie „twierdzenie” i „dowód” .Dla ucznia jest ten termin niezrozumiały. Nie zna on definicji „twierdzenia”, ani definicji „dowód” .Nie zna budowy twierdzenia i nie zna konstrukcji dowodów. Dopiero po raz pierwszy spotyka się z tym terminem w klasie 8, przy omawianiu twierdzenia Pitagorasa.

         Jednak w czasie swojej nauki matematyki uczeń rozwiązuje wiele zadań, gdzie w treści ukryte są twierdzenia a rozwiązania tych zadań są dowodami tych twierdzeń. Jest on  po prostu nieświadomy, że zetknął się z twierdzeniem i  jego dowodem. Wiele problemów stwarzają mu zadania typu „uzasadnij”, bądż „wykaż”. ,ponieważ ma zbyt małą   wiedzę i stąd kłopoty z uzasadnieniem zdania prawdziwego. Na tym etapie  uczeń nie wie jak zbudować model dowodu i jak to zapisać przy użyciu symboli matematycznych. Nawet twierdzenie Pitagorasa jest uzasadniane w prosty sposób, który nie jest w pełni prawdziwym dowodem. Uzasadnienie pokazane jest na podstawie graficznej interpretacji twierdzenia, czyli rysunku i obliczania pól kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego. Albo, jest też  pokazane, w niektórych podręcznikach,  że można to uzasadnić poprzez pokrycie  pola największego kwadratu kawałkami pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych./ układanie puzli/.

 Tu właśnie pojawia się największy problem dla ucznia , jak odkryć i jak uzasadnić, a potem udowodnić daną hipotezę ? Stąd bardzo ważny jest sposób „podawania” wiedzy uczniowi. Pokazywania mu   co z czego wynika w sposób dla niego zrozumiały i oczywisty .Ogromną rolę tu pełni nauczyciel i podręcznik. Nauczyciel prowadzi  go właściwą drogą i pokazuje  różne sposoby uzasadniania hipotez, bądż podpowiada mu jak pokonać trudności by dojść do celu , to znaczy zbudować model dowodu danej hipotezy. Natomiast odpowiedni podręcznik , wybrany przez nauczyciela  pozwoli mu zrozumieć dane zagadnienie.

       Opierając się na analizie dwóch podręczników można powiedzieć ,że algorytm  obliczania długości odcinka oraz obliczania współrzędnych środka odcinka jest wprowadzony bardziej przystępnie w podręczniku „Matematyka z plusem 8 ”. Bo tam rozwiązując różne zadania uczeń sam odkrywa algorytm obliczania i zapisuje  dane wzory. Jest to dla niego oczywiste, bo sam ,krok po kroku, do tego doszedł. Natomiast w podręczniku „Matematyka z kluczem 7”zagadnienie zostało omówione na przykładzie  działań na konkretnych liczbach i pokazanie uczniowi że tak jest .Nasuwają się wtedy różne wątpliwości: czy tak jest zawsze?, czy to jest właściwy sposób?, a czy nie ma krótszej drogi?.... Wynika z tego, że uczeń dostał coś co jest „ pewnikiem” i nie można inaczej. Powodem takiego, a nie innego podania wiedzy w tym podręczniku może być zbyt mały poziom wiadomości ucznia, bo to dopiero klasa 7, a nie 8 , jak w poprzednim podręczniku .Jest to 1 rok różnicy, ale jednak dużo mniej wiadomości.

       Dlatego naukę dowodzenia trzeba rozpoczynać już od pierwszej klasy szkoły podstawowej i kontynuować przez całe lata edukacji,  a pozwoli to łatwiej pokonywać trudności w odkrywaniu i uzasadnianiu oraz dowodzeniu twierdzeń.  

2.5   Bibliografia

 

1.   (red.) Dobrowolska M., Matematyka z plusem 8, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe 2018

2.   Braun M., Mańkowska A. i inni, Matematyka z kluczem 7, Nowa Era 2018

3.   https://pl.wikipedia.org/wiki/Analogia

4.     Konior J., Z zagadnień dowodzenia twierdzeń w nauczaniu szkolnym matematyki, Uniwersytet Śląski, Wydanie II, Katowice 1989

5.     Siwek H., Teoria matematyki. Teoria i zastosowania w matematyce szkolnej, WSiP, Warszawa 2005

6.   Stańdo J.,  Jak rozwijać myślenie logiczne w edukacji matematycznej?, Zestaw 4, Zeszyt 3.

7.   Turnau S., Wykłady o nauczaniu matematyki, rozdział 5: O nauczaniu problemowym, a także definiowaniu, odkrywaniu, wyprowadzaniu i dowodzeniu, PWN Warszawa 1990

8       Zaręba L., Matematyczne uogólnienie możliwości uczniów i praktyka nauczania, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012